1889 yılında İstanbul’un Sofular semtinde doğan Omurtak, Harp Okulu’na 1905 yılında girerek 1907’de teğmen rütbesiyle mezun oldu. 1910 yılında Harp Akademisi’ni birincilikle tamamladı. Almanca ve Fransızca bilen Omurtak, hem Osmanlı İmparatorluğu döneminde hem de Türkiye Cumhuriyeti’nin kuruluş sürecinde ve sonrasında üst düzey görevlerde bulundu.
Askeri kariyeri boyunca Trablusgarp, Birinci Dünya Savaşı ve Kurtuluş Savaşı gibi büyük cephelerde görev yaptı. 1917’de Avrupa cephelerini görmek üzere Almanya’ya gönderildi, ardından Brest-Litovsk Barış Konferansı’nda Osmanlı’yı temsilen askeri delege olarak yer aldı. 1920’de Millî Mücadele’ye katılarak Ankara’ya geçti ve kısa sürede Genelkurmay Harekat Şubesi Müdürlüğü görevine getirildi. Ardından 61. Tümen Komutanlığı, 3. Ordu Kurmay Başkanlığı, 8. ve 9. Kolordu Komutanlıkları gibi çeşitli kademelerde komuta görevlerinde bulundu.
30 Ağustos 1940’ta orgeneral rütbesine yükselen Omurtak, 1946 yılında 1. Ordu Komutanı oldu. Aynı yıl Genelkurmay Başkanlığı görevine atandı. 1949’da sağlık nedenleriyle tedavi için Amerika’ya gönderildi. Aynı yıl yeniden Askerî Şûra üyeliğine getirildi ve 1950 yılında kendi isteğiyle emekli oldu.
Katıldığı savaş ve harekatlardan dolayı Osmanlı, Alman ve Avusturya-Macaristan devletlerinden çeşitli madalya ve nişanlarla ödüllendirildi. Türkiye Büyük Millet Meclisi tarafından da İstiklal Madalyası ile onurlandırıldı.
23 Haziran 1954’te vefat eden Omurtak, önce Ankara Cebeci Askerî Şehitliği’ne defnedildi. 30 Ağustos 1988 tarihinde naaşı Devlet Mezarlığı’na nakledildi. Bugün Siirt’te bir askeri birlikte adı yaşatılan Orgeneral Mehmet Salih Omurtak, hem savaş meydanlarında hem de kurmay kademelerinde gösterdiği başarılarla Türk Silahlı Kuvvetleri’nin unutulmaz isimlerinden biri olarak anılıyor.